Показательные    уравнения  с  параметрами.

            Многие  показательные  уравнения  с  параметрами  сводятся  к  элементарным  показательным  уравнениям  вида  а ^{f (x)}  = b ^φ(х)  (*), где  а > 0, b > 0.

            Область  допустимых  значений  такого уравнения находится  как  пересечение  областей  допустимых  значений  функций  f(x)  и  φ (х). Для  решения  уравнения  (*) нужно  рассмотреть  следующие  случаи:

1)      При  а = b = 1  решением  уравнения  (*)  является  область  его  допустимых  значений  D.

2)      При  а = 1, b ≠ 1  решением  уравнения  (*)  служит  решение  уравнения  φ(х) = 0  на  области  допустимых  значений  D.

3)      При  а ≠ 1, b = 1  решение  уравнения  (*)  находится  как  решение  уравнения      f(х) = 0  на  области  D.

4)      При  а = b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  равносильно  уравнению        f(х) = φ(х)  на  области  D.

5)      При  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  тождественно  уравнению

log _c a ^f(x) =  log _c b ^φ(x)  (c > 0, c ≠ 1)  на  области  D.

 

Пример. Решите  уравнение:  а ^{х + 1} = b ^{3 – х}

 

Решение. ОДЗ  уравнения:  х  R,  а > 0,  b >0.

 

       1)  При   а ≤ 0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла.

       2)  При   а = b = 1,   х  R.

       3)  При  а = 1, b ≠ 1  имеем:  b ^{3 – х} = 1  или  3 – х = 0  х = 3.

       4)  При  а ≠ 1, b = 1  получим:  а ^{х + 1} = 1  или х + 1 = 0  х = -1.

       5)  При  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  имеем: х + 1 =3 – х  х = 1.

       6)  При  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)   прологарифмируем  исходное  уравнение

            по  основанию  а, получим:

 

           ,    х + 1 = ( 3 – х ) log _a b ,

 

Ответ:  при   а ≤ 0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла;

             при   а = b = 1,   х  R;

             при  а = 1, b ≠ 1  х = 3.

             при  а ≠ 1, b = 1  х = -1

             при  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  х = 1

             при  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  

 

 

Логарифмические  уравнения  с  параметром.

 

            Решение  логарифмических  уравнений  с  параметрами  сводится  к  нахождению  корней  элементарного  логарифмического  уравнения. Важным  моментом  решения  уравнений  такого  типа  является   проверка  принадлежности  найденных  корней  ОДЗ  исходного  уравнения.

 

Пример. Решите  уравнение  2 – log (1 + х) = 3 log _а  - log ( х ² – 1 )²

 

Решение. ОДЗ: х > 1,  а > 0, а ≠ 1.

 

        Осуществим  на  ОДЗ  цепочку  равносильных  преобразований  исходного  уравнения:

log _а а² + log ( х² - 1) =  log _а ( )³ + log _a ,

 

log _а ( а² (х² - 1)) = log _а (( )³ ),

 

а² (х² - 1) = (х - 1) ,

 

а² (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

 

            Так  как  х ≠ -1  и  х ≠ 1, сократим  обе  части  уравнения  на  (х - 1)

а² =

 

            Возведем  обе  части  полученного  уравнения  в  квадрат:

 

а⁴ (х + 1) =  х – 1  а⁴ х + а⁴ =  х – 1 х( 1 -  а⁴ ) =   а⁴ + 1

 

            Так  как  а ≠ -1  и  а ≠ 1, то 

 

            Для  того  чтобы  значения  х  являлось  решением  уравнения, должно  выполняться  условие  х > 1, то  есть 

            Выясним,  при  каких  значениях  параметра  а  это  неравенство  истинно:

 

,

            Так  как  а > 0, то  полученная  дробь  положительна, если  1 – а⁴ > 0, то  есть  при

а < 1.

            Итак, при  0 < a < 1,  x > 1, значит  при  0 < a < 1  х  является    корнем  исходного  уравнения.

 

Ответ:  при  а ≤ 0, а = 1  уравнение  не  имеет  смысла;

             при   а > 1  решений  нет;

             при  0 < a < 1 

 

 

ТЕСТ  1

Вариант I.

 

1. Решите  уравнение  k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1  относительно  х.

а) при  k=-2  корней  нет;  при  k =-2   ;

б) при  k -2  корней  нет;  при  k=-2   ;

в) при  k=-2  корней  нет;  при  k =-2  и k =0,25 .

 

2. Решите  уравнение  2а( а - 2)х = а² – 5а+6  относительно  х

           а) при  а=2  х R  ; при  а=0 корней  нет; при  а 0  и а 2  ;

б) при  а=2  х R  ; при  а=0 корней  нет; при  а 0  и а 2  ;

в) при  а=2  х R  ; при  а=0 корней  нет; при  а 0  и а 2  .

 

3. При  каких  значениях  b  уравнение  1+2х – bx = 4+х  имеет  отрицательное  решение.

а) b<1  ;              б)  b>1  ;            в)  b=1 

 

4. При  каких  значениях  а  парабола  у = ах² – 2х +25  касается  оси х?

 

а) а=25   ;   б) а=0  и  а= 0,04  ;    в)  а=0,04.

 

5. При  каких  значениях  k  уравнение  (k - 2)x² = (4 – 2k)x+3 = 0  имеет  единственное  решение?

а) k=-5, k= -2  ;  б) k=5        ; в) k=5, k= 2  .

 

6. Решите  относительно  х  уравнение

а)при b +1, b     ; при  b=    реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при  b     ; при  b=    реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при  b=     ;  при b=±1 нет смысла.

 

7. При  каких  значениях  параметра  а  уравнение  имеет  решение 

а) а≥ 3   ;   б)  а=4  ;  в)  а≥ 0

 

8. При  каких  значениях  а  уравнение    имеет  2  корня?

   а) –0,25≤а≤ 0   ;   б)  –0,25<а≤ 0   ;  в)  –0,25<а< 0  

 

9. При  каких  значениях  параметра  с  уравнение  имеет  2  корня?

а) с ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞);  б) при  с = ±1,5√3;  в) с ( - ∞ ; -1,5√3)

 

 

Вариант II.

 

1. Решите  уравнение  2х( а+1)= 3а(х+1)+7  относительно  х.

а) при  а=-2  корней  нет;  при  а -2   ;

б) при  а -2  корней  нет;  при  а=-2   ;

в) при  а -2  и а -    корней  нет;  при  а=-2   .

 

2. Решите  уравнение  (а ² - 81)х = а² + 7а - 18  относительно  х

а) при  а=-9  х R  ; при  а=9 корней  нет; при  а -9  и а 9  ;

б) при  а=9  х R  ; при  а=-9 корней  нет; при  а -9  и а 9  ;

в) при  а= -9  х R  ; при  а=9 корней  нет; при  а -9    ;

 

3. При  каких  значениях  b  уравнение  2+4х-bx=3+х  имеет  отрицательное  решение?

а) b<3  ;              б)  b<2  ;            в)  b>3 

 

4. При  каких  значениях  k  уравнение  kx² – (k - 7)x + 9 =0 имеет  два  равных  положительных  корня?

а) k=49, k= 1  ;  б) k=1        ; в) k=49 .

 

5. При  каких  значениях  а  уравнение  ax² - 6x+а = 0  имеет  два  различных  корня?

 

 а) а ( - 3 ; 0)U(0; 3 );  б) при  а ( - 3 ; 3)  ;    в) с ( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)

6. Решите  относительно  х  уравнение

а)при а 1,а 2,25, а -0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а 2,25, а -0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

 

в) при а 1, а -0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

7. При  каких  значениях  параметра  а  уравнение  имеет  решение  ?

а) а≥ 2/3   ;   б)  а≥ 2/3 √6  ;  в)  а≤ 2/3 √6 

 

8. При  каких  значениях  а  уравнение    имеет  2  корня?

 

   а) а≥ 0   ;   б)  ни  при  каких   ;  в)  а≥ 1  

 

9. При  каких  значениях  параметра  с  уравнение  имеет  2  корня?

 

а) с ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞);  б) при  с = ±1,5√3;  в) с ( - ∞ ; -1,5√3)

 

 

ТЕСТ  2

 

Вариант I.

 

1. Решите  уравнение  3 cos x = 4b + 1  для  всех  значений  параметра.

а) при b ( -1; 0,5 )  х = ± arcos ; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) при b [ -1; 0,5 ]  х = ± arcos ; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в) b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 )  при реш.нет;

 

2. Найдите  все  действительные  значения  параметра  а, при  которых  уравнение   sin² x – 3sin x + a  =0.

а) a  [ -4; 2 ]     ;    б) а  ( -4 ; 2)   ;         в) а [ - 4; 2 ).

 

3. При  каких  значениях  а  уравнение  cos⁴ x + sin⁴ x = a  имеет  корни?

а) a  [ 0,5; 1 ]     ;    б) а  [ -1 ; 0,5 ]   ;         в) а [ - 0,5; 1 ).

 

4. Решите уравнение 

      а) при  а ≤ 0  х R  ; при  а > 0, а 1  х = 2; при  а = 1  не  имеет  смысла.

      б) при  а > 0  х R  ; при  а = 1  х = 2; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

      в) при  а = 1  х R  ; при  а > 0, а 1  х = 2; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

 

5. При  каких  значениях  параметра  уравнение  4^х – а2 ^х+1 – 3а² + 4а = 0  имеет  единственное  решение?

а)      2;                          б) 1   ;                       в) -1.

 

6. Решите  уравнение  log _a x ² + 2 log _a ( x + 2) = 1.

      а)  при а ≤ 1   х = 0,5( 2+ ) ; при  а =100  х = 1.

      б)  при а > 100  реш. нет;  при 1<a<100   х = 0,5( 2+ ); при  а =100  х = 1;

            при а ≤ 1   не  имеет  смысла .

      в)  при а > 100  реш.нет ;  при 1<a<100  х = 0,5( 2+ ) ;   

           при а ≤ 1   не  имеет  смысла .

 

7.      Найдите  все  значения  параметра, для  которых  данное  уравнение  имеет  только  один  корень  1+ log ₂ (ax) = 2 log ₂ (1 - x)

а) а > 0, а = 2  ;   б) а > 0, а = - 2  ;   в) а < 0, а = - 2  .

 

8. Решите  уравнение   а > 0, а 1

 

      а)  а ;   ;           б)   а² ; -    ;  в )  а² ;   

 

 

Вариант II.

 

1. Решите  уравнение  cos (3x +1 ) = b   для  всех  значений  параметра.

а) при |b| ≤  1   х = ; при |b| >  1   реш.нет;

б) при |b| ≤  1 и b=0  х = ; при |b| >  1   реш.нет;

 

в) при |b| >  1   х = ; при |b| <  1   реш.нет;

 

2. Найдите  все  действительные  значения  параметра  а, при  которых  уравнение   cos2 x + asin x =2 a  -7.

а) a  ( 2 ; 6 )     ;    б) а  ( 2 ; 4 ]   ;         в) а [ 2  ; 6 ].

 

3. При  каких  значениях  а  уравнение  cos⁶ x + sin⁶ x = a  имеет  корни?

а) a  [ 0,25; 0,5 ]     ;    б) а  [ 0,25 ; 1 ]   ;         в) а [ - 0,25; 1 ].

 

4. Решите уравнение 

      а) при  а ≤ 0  х R  ; при  а > 0,   х = 1; при  а = 1  не  имеет  смысла.

      б) при  а = 1  х R  ; при  а > 0, а 1   х = 1; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

      в) при  а > 0х R  ; при а = 1   ,   х = 1; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

 

5. При  каких  значениях  параметра  уравнение  а( 2 ^х + 2^-х ) = 5  имеет  единственное  решение?

а)      -2,5; 2,5       ;                б) 2;  2,5       ;                       в) –2,5.

 

6. Решите  уравнение 3 lg  (x – а) - 10 lg  ( x - а)+1 = 0.

      а)  х = а + 1000, х = а + ³√10  ;

      б)  х = а - ³√10  , х = а –1000  ;

      в)  х = а - ³√10 ,  х = а + 1000 .

 

7.      Найдите  все  значения  параметра, для  которых  данное  уравнение  имеет  только  один  корень 

 

а) 4  ;                 б) -4  ;                  в) - 2 .

8. Решите  уравнение   а > 0, а 1

 

      а)  -1  ;  а ;           б)   1  ;  - а;  в )  1  ;  а